※ 引述《gyGirl (妹)》之銘言：
: 工學院
: 讀碩士班就是做出一個元件或是一個材料
: 就很厲害
: 但是數學系
: 要證明出一個定理嗎？
: 數學的定理好像沒那麼多耶
: 如果證明出來
: 證明題不就像考卷一樣半頁就寫完了？
: 那數學系的碩班都在研究什麼？
我自己觀察
大部分的數學論文，研究脈絡大概是.........
重大問題 > 下面衍伸出的小問題，
但其實所謂下面的小問題，通常也都不是什麼太小的問題，
它往往是關鍵，像是費馬大定理下的谷山志村猜想。
或是佩雷爾曼所證明的三維龐加萊猜想，在此之前威廉瑟斯頓有提出
幾何化猜想，大意是三維流形可分解成八種結構，若證明此猜想，
再將八種可能個別討論一一排除，就可以解決龐加萊猜想。
如果這些問題被解決，那就是數學教科書上的
Lemma 1、Lemma 2、.....、Lemma n，最後的定理Theorem在邏輯推導的過程當中，
引用這些lemma，最後定理得證!!
所以很多數學論文也是這樣的一種方式。
數學領域很多元，不只有大家熟知的希爾伯特難題、千禧年難題
很多問題可能是統計、幾何、代數下的小問題，
或是這些問題延伸出的其他問題。
做數學問題不怕沒問題做
差別在於，這些問題的能見度、真實的應用性、問題深度
一般數學工作者不及大數學家最直接的地方在於.....
你證明的theorem對大數學家來說只是lemma中的lemma，
而你用來證明theorem的lemma對大數學家來說只是trivial不過的小事，
對大數學家來說極其直觀。
可能你想到的這些，他們很早之前就想過0.0001秒且馬上知道是正確的，
對他們來說這種成立的事實微不足道。
因為有天分的數學家對數學結構掌握度極高，你認為抽象的事情，
他們已經玩到幾乎可說是內化成自己的基因，對很多數學概念都有敏銳直覺。
往往他們能提出並解決的問題，才算是所謂的lemma、theorem，
所以好的數學家很會問問題，這也是為什麼我們常聽到的著名數學猜想。
對數學研究者來說，比較會卡住的就是論文主要結果的證明卡在某個環節怎麼辦??
其中一種粗暴的處理方式就是.........
這個卡住的地方就當成是定理的condition，
你的證明就過得去了!!定理或是引理也就得證!!
只是這樣的定理泛用性就大打折扣，
因為往往這個condition就是大家卡住的關鍵，
像是有些應用數學場景是在做最佳化演算法收斂性的問題，
恰恰這個condition是一個很強的條件，一般來說不會滿足，
又或是我們也不希望他滿足(因為滿足這個condition可能成本很高)
加了這個條件來證明了這個定理，貢獻性整個大打折扣
數學的發展還有一個更重要的地方在於，
新的數學工具的發明，往往是推進數學發展很重要的過程。
前面我們提到幾個重要的，如費馬大定理、龐加萊猜想、千禧年難題等等，
除了問題本身的重要性之外，
更重要的是解決這些問題，很可能會發明新的數學工具，
這個數學工具出現，被同儕審查後，
這世界上眾多聰明的大腦會進一步思考還能處理其他問題嗎??
甚至問出新的數學問題，這才是數學前進的關鍵。
就像是玩即時戰略遊戲，找到一個點之後，周邊迷霧都打開後，
發現又有通往其他的道路，甚至找到其他的資源
實際例子像是幾何上的三大作圖難題，並非透過幾何作圖去說明，
而是更高層次的代數群論去解決這些難題。
還有五次方程式沒公式解，也並非像卡當諾(三次四次公式解是他提出的)，
去死嗑方程式的運算技巧，而是Abel、Galois利用群論解決了這個問題。
群論也應用在量子物理、相對論。
這讓我也想到其他篇提到菲爾茲獎得主對AI的聲明，
數學家們的擔憂是有原因的，這些大數學家並非反對AI，
而是擔心所謂的 "錯位"。
大家靜下心來先看原文
https://reurl.cc/p8pZoa
其實重點在於，AI公司把數學問題當作衡量AI能力的的基準。
有點類似顯卡拿遊戲來跑分的感覺，來證明自己顯卡的能力。
所謂的AI跑數學問題，都是基於現有數學工具的前提下，
讓大型語言模型去跑數學問題，他的價值在於.....
可以嘗試很多解題路徑方法、更有效率的窮舉驗證、形式化驗證等等，
它是一個放大加速器，可以讓數學研究者更有效率去處理問題。
但AI並非一個工具產生器，
同樣都是處理數學問題，
AI是在現有工具下可以有效率地去執行並解決問題，
數學家是在處理數學問題的同時，很有可能產生新的數學工具，
然後大大的推進數學的發展，這是數學發展最核心的價值!!
有人這時候會說
"AI在現有數學工具下，雖沒有產生新工具，但確實有效率解決數學問題"
這個想法沒錯，但就衍伸出下面的問題，
"成果的歸屬"、"學術倫理"、"同儕審查人力的不足"
因為這些問題是一環扣一環
大家先假設現在AI公司宣稱解決數學問題的這個場景，
在數學界來說，首先就面臨一個問題，是誰解決的??誰是作者??
因為這個是判斷一個數學家的貢獻很重要的依據。
再來，解決數學問題，即便產生新的工具，往往也是站在前人的努力之下，
才會有新的想法與工具出現。
講直白一點就是，參考文獻該列的就要列、該引用誰的論文就要引用出處，
若這些沒做到，在學術倫理上就是剽竊，而通常你在投稿的時候，
編審委員除了嚴謹地審查正確性之外，
通常也會提醒，你哪些該引用的論文沒有引用(此行為爭議暫且不論)，
避免有剽竊嫌疑。
完成同儕審查後，整個數學理論才算是完整落地被大家認可。
前沿的數學研究期刊，像是普林斯頓數學年刊，
審查需要的時間，一年上下算是常態，有些甚至更久。
張益唐針對孿生質數猜想的突破性論文僅用三週就被接受算是特例，
但該篇論文能被快速接受也是因為把前人的結果做了突破性的改進，
才能如此快被審查接受，但這個極為快速的特例，對AI來說已經是普通的速度了。
所以下一個問題也隨之而來，
AI所解決的問題正確性與出處引用，都未經過同儕審查。
然而並非數學家不願意做這件事情，而是AI太快了，同儕審查是跟不上這種速度的。
所以陶哲軒才會有所謂的錯位一說，因為AI強調是在現有工具下的效率追求，
一定程度弱化數學研究者對另闢蹊徑找新工具的動力，
而同儕審查又未能跟上AI產出的速度，
對AI宣稱所解決的問題，根本來不及做完整的流程，將論文定調。
不是AI公司不能做數學問題，而是AI公司對數學問題的解決與理解，
和具備嚴謹與理想浪漫性格的數學家相比，有一個很大的落差。