https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-025-00159-z
1867年法國數學家皮埃爾·奧西安·博內提出博內問題："如果我們知道一個封閉曲面的
度量(決定距離）和平均曲率（彎曲程度），這個曲面的形狀是不是就唯一確定了？"
博內證明大多數情況下是肯定的
但也存在例外（稱為博內對）
後續158年間數學家陸續發現了非緊緻（無限延伸或有邊界）的博內對案例
但始終沒人能找到緊緻（封閉且無邊界，如球體或甜甜圈）的案例
德國Alexander Bobenko過去20多年來一直試圖證明緊緻博內對確實存在
他和Tim Hoffmann花了20年的時間發展用離散曲面來保留光滑曲面幾何特徵的理論
2010年代期間Andrew Sageman-Furnas加入團隊
他將博內問題帶進離散幾何領域
2018年春季Sageman-Furnas在電腦上用離散微分幾何中的等溫曲面與博內對的類比
對環面進行57的四邊形分割與分析
電腦搜索找到了一個像摺紙犀牛的離散環面
https://reurl.cc/Eblemk
電腦分析顯示此環面在變換過程中能保持緊緻性
而且它的曲率線都落在平面或球面上
Bobenko隨後用100多年前Jean Gaston Darboux的公式將它從離散轉換成平滑曲面
成功讓原本會無限延伸的曲線閉合成環面
終於構造出第一對平滑的緊緻博內對
後來他們又進一步放寬約束條件並構造出兩組外觀明顯不同、極其扭曲且互不為鏡像的
實解析環面
https://reurl.cc/aMmAR7
這項研究一口氣解決了兩個幾何問題-
全球博內問題:證明確實存在兩種類型不同、但具有相同度量和平均曲率的緊緻流形
Cohn-Vossen–Berger 問題：證明即便是在最平滑、最優美的實解析級別下曲面形狀依然
不具備唯一性